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18-19 oct. 2016 Marseille (France)
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Séminaire Méditerranéen de Géométrie Algébrique Ce séminaire rassemble deux fois par an des géomètres algébristes (et assimilés) de Marseille, Montpellier, Nice et au-delà. Rencontre du printemps 2017 : les 16 et 17 mars à Nice. Programme Jeudi 16 mars 14h-14h50 Boris Pasquier Programmes des modèles minimaux pour les variétés horosphériques On peut décrire le programme des modèles minimaux (MMP) à partir d'une variété horosphérique (ou une variété torique) par une famille à un paramètre de polytopes. Après quelques rappels sur le MMP et une introduction aux variétés horosphériques, j'illustrerai ce résultat par quelques exemples puis je discuterai des variantes du MMP qui fonctionnent tout aussi bien pour ces variétés.
15h-15h50 Fabio Tanturri Sur l'unirationalité des espaces de Hurwitz 15h50-16h20 Pause café 16h20-17h10 Carlos Simpson Systèmes locaux sur P^1 privé de 5 points. Vendredi 17 mars 9h30-10h20 Marcello Bernardara Mesures motiviques, décompositions semiorthogonales: applications en géométrie birationnelle. Grâce aux travaux de Bondal, Orlov, Kuznetsov (et autres), on s'attend à ce que les décompositions semiorthogonales de la catégorie dérivée contiennent des informations importantes sur la géométrie birationnelle d'une variété lisse et projective. Par exemple, on peut définir si une catégorie triangulée est représentable en une dimension d donnée et s'attendre à ce que la catégorie dérivée de toute variété rationnelle soit représentable en codimension 2.
En caractéristique zéro, on peut utiliser une mesure motivique définie par Bondal, Larsen et Lunts: on associe à X une classe dans le groupe de Grothendieck des catégories triangulées, où on manipule plus facilement les décompositions semiorthogonales. Dans cet exposé, j'utiliserai cette mesure pour construire un invariant birationnel "motivique", qui donne une réponse (faible) positive à la question de la représentabilité des variétés rationnelles, ainsi que des indications d'invariants plus subtils dans le cas des fibrations de Mori. Dans certains cas, on a pu montrer que ces invariants existent (en collaboration avec A.Auel et/ou M.Bolognesi). De plus, je montrerai comment cette mesure permet de construire une filtration du groupe des automorphismes birationnels d'une variété. Entre autre, cela permet de montrer que le sous-groupe de Bir(P^n) engendré par la transformation standard et PGL est stricte dans le sous-groupe des applications qui contractent des variétés rationnelles (un résultat démontré par Blanc et Hedén en dimension paire). 10h20-10h50 Pause café 10h50-11h40 Marian Aprodu Ulrich bundles on projective surfaces.An Ulrich bundle on a projective variety is a vector bundle that admits a completely linear resolution as a sheaf on the projective space. Ulrich bundles are semi-stable and the restrictions to any hyperplane section remain semi-stable. This notion originates in classical algebraic geometry, being related to the problem of finding, whenever possible, linear determinantal or linear pfaffian descriptions of hypersurfaces in a complex projective space. Generally, the existence of an Ulrich bundle has nice consequences on the equations of the given variety, specifically, the Cayley-Chow form is the determinant of a matrix of linear forms in the Pluecker coordinates. We discuss recent results on the existence of rank-two Ulrich bundles on surfaces. The talk is mainly based on joint works with G. Farkas, A. Ortega, L. Costa, R. M. Miro-Roig. 11h50-12h40 François Labourie Métrique de pression et différentielles holomorphes (avec R. Wentworth) La métrique de Weil—Petersson sur l’espace de Teichmüller a deux interprétations : l’une venant de la géométrie complexe, comme une métrique L^2 sur l’espace des différentielles quadratiques, l’autre venant du formalisme thermodynamique, liée au spectre des longueurs. Cette double construction vient de ce que l’espace de Teichmüller a une double nature, à la fois dynamique et analytique. Après un rappel sur Weil—Petersson, j’expliquerai la généralisation de ces constructions dans le cas des composantes de Hitchin. Il s’agit d’un travail en commun avec R.Wentworth (Maryland).
Rencontre inaugurale : les 18 et 19 octobre 2016 à Marseille. Programme Mardi 18 octobre 14h-14h50 Adam Parusinski, Filtration par le poids pour les variétés algébriques réelles Pour chaque variété algébrique réelle, nous construisons la filtration par le poids sur la (co)homologie à coefficients dans Z/2. Il s’agit d’un analogue de la filtration de Deligne pour les variétés algébriques complexes. Nous discutons des propriétés géométriques de cette filtration et donnons quelques applications. 15h-15h50 Xavier Roulleau, Construction de surfaces rigides avec K^2=2c_2=8 et q=p_g=2 En dépit d’une recherche active, les surfaces de type général ayant un nombre d’Euler le plus petit possible (i.e. \Chi(O_S)=1) sont loin d’être classées. Pour ces surfaces l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau nous dit que l’auto-intersection du canonique vérifie K^2\leq 9. Dans cet exposé, nous classons les surfaces de type général ayant un nombre d’Euler minimal, avec K^2=8 et d’irrégularité q=2, telles que leur morphisme d’Albanese soit de degré 2. Nous montrons qu’il y a deux familles de telles surfaces : les premières sont certains revêtements doubles de jacobiennes de courbes de genre 2. Leur revêtement universel est le bi-disque. Les surfaces de l’autre famille sont rigides, elles contiennent un ouvert qui est un quotient de la boule unité par un groupe arithmétique et leur revêtement universel n’est pas le bi-disque. Il en existe au moins une, et au plus 16. C’est un travail en collaboration avec Francesco Polizzi et Carlos Rito. 15h50-16h20 Pause café 16h20-17h10 Christian Pauly, Variétés de Prym non-abéliennes et fonctions thêta généralisées Dans cet exposé je présenterai d'abord la connexion de Hitchin sur le fibré V(r,l) des fonctions thêta généralisées de niveau l sur l'espace de modules des fibrés de rang r sur une famille de courbes projectives lisses et les multiples descriptions de ces espaces V(r,l) : blocs conformes, TQFT. Ensuite, je regarderai le cas particulier où r=2 et l=4. Contrairement au cas général, on s'attend à ce que la monodromie de la connexion de Hitchin sur V(2,4) soit finie. Cette conjecture est motivée par une identification de V(2,4) avec les fonctions thêta sur les variétés de Prym abéliennes. C'est un travail en commun avec Thomas Baier, Michele Bolognesi et Johan Martens.
Mercredi 19 octobre 9h30-10h20 Sylvain Brochard, Dualité champêtre et applications Après avoir rappelé les définitions de base pour la dualité des champs en groupes commutatifs, nous donnerons deux applications de ce formalisme. D'une part nous montrerons comment il permet, sous des hypothèses ad hoc, de définir de manière naturelle un "champ d'Albanese" qui jouit d'une propriété universelle tout à fait analogue à celle de la classique variété d'Albanese. D'autre part nous expliquerons comment généraliser aux 1-motifs la construction qui à un fibré en droites sur une variété abélienne A associe un morphisme de groupes de A vers sa duale A*. 10h20-10h50 Pause café 10h50-11h40 Julien Grivaux, Approximation au premier ordre des auto-intersections dérivées générales Soit Y un schéma lisse sur un corps de caractéristique nulle, soit X un sous-schéma lisse fermé et V un fibré vectoriel sur X. La classe de Hochschild-Kostant-Rosenberg de V, introduite par Arinkin et Caldararu en 2012, mesure l'obstruction à étendre V en un faisceau localement libre sur le premier voisinage formel de X dans Y. Cette construction n'est en fait pas nouvelle : en 2008, Huybrechts et Thomas ont également considéré cet invariant cohomologique pour des complexes bornés de faisceaux cohérents sur X, et démontré le théorème d'extension correspondant. Dans cet exposé, on exposera une généralisation pour des complexes de faisceaux arbitraires sur le premier voisinage formel de X dans Y. On présentera ensuite des applications géométriques, notamment pour les calculs d'auto-intersections dérivées. 11h50-12h40 Michele Bolognesi, Surfaces abéliennes et thêta-caractéristiques Dans cet exposé, je vais décrire la construction, à l'aide des fonctions thêta constantes, de certains espaces de modules de surfaces abéliennes, dotées d'une structure thêta symétrique et d'une thêta caractéristique. Je passerai ensuite à l’étude de leur géométrie birationnelle et notamment de leur dimension de Kodaira, en me concentrant sur un cas particulier, qui révèle un lien plutôt surprenant avec un nouveau type de variété de sommes de puissances. C'est un travail en collaboration avec A. Massarenti (UFF- Rio de Janeiro). Les exposés auront lieu à la FRUMAM, sur le site de Saint Charles, salle de séminaire du 2ème étage.
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