18-19 oct. 2016 Marseille (France)

Séminaire Méditerranéen de Géométrie Algébrique

Ce séminaire rassemble deux fois par an des géomètres algébristes (et assimilés) de Marseille, Montpellier, Nice et au-delà. 

Rencontre inaugurale : les 18 et 19 octobre 2016 à Marseille.

Programme

Mardi 18 octobre

14h-14h50 Adam Parusinski, Filtration par le poids pour les variétés algébriques réelles

Pour chaque variété algébrique réelle, nous construisons la filtration par le poids sur la (co)homologie à coefficients dans Z/2. Il s’agit d’un analogue de la filtration de Deligne pour les variétés algébriques complexes. Nous discutons des propriétés géométriques de cette filtration et donnons quelques applications.

15h-15h50 Xavier Roulleau, Construction de surfaces rigides avec K^2=2c_2=8 et q=p_g=2

En dépit d’une recherche active, les surfaces de type général ayant un nombre d’Euler le plus petit possible (i.e. \Chi(O_S)=1) sont loin d’être classées. Pour ces surfaces l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau nous dit que l’auto-intersection du canonique vérifie K^2\leq 9. Dans cet exposé, nous classons les surfaces de type général ayant un nombre d’Euler minimal, avec K^2=8 et d’irrégularité q=2, telles que leur morphisme d’Albanese soit de degré 2. Nous montrons qu’il y a deux familles de telles surfaces : les premières sont certains revêtements doubles de jacobiennes de courbes de genre 2. Leur revêtement universel est le bi-disque. Les surfaces de l’autre famille sont rigides, elles contiennent un ouvert qui est un quotient de la boule unité par un groupe arithmétique et leur revêtement universel n’est pas le bi-disque. Il en existe au moins une, et au plus 16. C’est un travail en collaboration avec Francesco Polizzi et Carlos Rito.

15h50-16h20 Pause café

16h20-17h10 Christian Pauly, Variétés de Prym non-abéliennes et fonctions thêta généralisées

Dans cet exposé je présenterai d'abord la connexion de Hitchin sur le fibré V(r,l) des fonctions thêta généralisées de niveau l sur l'espace de modules des fibrés de rang r sur une famille de courbes projectives lisses et les multiples descriptions de ces espaces V(r,l) : blocs conformes, TQFT. Ensuite, je regarderai le cas particulier où r=2 et l=4. Contrairement au cas général, on s'attend à ce que la monodromie de la connexion de Hitchin sur V(2,4) soit finie. Cette conjecture est motivée par une identification de V(2,4) avec les fonctions thêta sur les variétés de Prym abéliennes. C'est un travail  en commun avec Thomas Baier,  Michele Bolognesi et Johan Martens.

Mercredi 19 octobre

9h30-10h20 Sylvain Brochard, Dualité champêtre et applications

Après avoir rappelé les définitions de base pour la dualité des champs en groupes commutatifs, nous donnerons deux applications de ce formalisme. D'une part nous montrerons comment il permet, sous des hypothèses ad hoc, de définir de manière naturelle un "champ d'Albanese" qui jouit d'une propriété universelle tout à fait analogue à celle de la classique variété d'Albanese. D'autre part nous expliquerons comment généraliser aux 1-motifs la construction qui à un fibré en droites sur une variété abélienne A associe un morphisme de groupes de A vers sa duale A*.

10h20-10h50 Pause café

10h50-11h40 Julien Grivaux, Approximation au premier ordre des auto-intersections dérivées générales

Soit Y  un schéma lisse sur un corps de caractéristique nulle, soit X un sous-schéma lisse fermé et V un fibré vectoriel sur X. La classe de Hochschild-Kostant-Rosenberg de V, introduite par Arinkin et Caldararu en 2012,  mesure l'obstruction à étendre V en un faisceau localement libre sur le premier voisinage formel de X dans Y. Cette construction n'est en fait pas nouvelle : en 2008, Huybrechts et Thomas ont également considéré cet invariant cohomologique pour des complexes bornés de faisceaux cohérents sur X, et démontré le théorème d'extension correspondant. Dans cet exposé, on exposera une généralisation pour des complexes de faisceaux arbitraires sur le premier voisinage formel de X dans Y.  On présentera ensuite des applications géométriques, notamment pour les calculs d'auto-intersections dérivées.

11h50-12h40 Michele Bolognesi, Surfaces abéliennes et thêta-caractéristiques

Dans cet exposé, je vais décrire la construction, à l'aide des fonctions thêta constantes, de certains espaces de modules de surfaces abéliennes, dotées  d'une structure thêta symétrique et d'une thêta caractéristique. Je passerai ensuite à l’étude de leur géométrie birationnelle et notamment de leur dimension de Kodaira, en me concentrant sur un cas particulier, qui révèle un lien plutôt surprenant avec un nouveau type de variété de sommes de puissances. C'est un travail en collaboration avec A. Massarenti (UFF- Rio de Janeiro). 

 

Les exposés auront lieu à la FRUMAM, sur le site de Saint Charles, salle de séminaire du 2ème étage.

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